Ecuaciones lineales en diferencias. Aplicaciones a la empresa y la economía

Abstract

Este trabajo es una introducción desde el punto de vista matemático a las ecuaciones en diferencias, especialmente a las lineales, encaminado principalmente a resolver problemas económicos y empresariales cimentados en este tipo de ecuaciones. A pesar de ello, su contenido y exposición ha sido desarrollado para que pueda servir como apuntes de trabajo a cualquier persona que quiera introducirse en el mundo de las ecuaciones en diferencias.

Las aplicaciones que aquí se plantean pueden ser comprendidas sin necesidad de grandes conocimientos empresariales o económicos. Algunos planteamientos económicos utilizan ecuaciones en diferencias muy simples, por lo que su resolución dentro del marco puramente práctico suele hacerse mediante una simple recurrencia. Para este tipo de problemas hemos intentado conjugar las técnicas recurrentes usadas en economía con un planteamiento desde el punto de vista de las ecuaciones en diferencias.

Matemáticamente, este texto es autocontenido y para su total comprensión solo son necesarias algunas nociones básicas de álgebra lineal. Para ello se ha abordado el desarrollo teórico introduciendo demostraciones sencillas y la menor cantidad posible de notaciones. Las demostraciones están insertadas tras cada enunciado. Solo las pruebas de la proposición 2.3.3 y del teorema 2.3.4 las incluimos en el apéndice B por su tecnicismo. En el apéndice C damos una demostración alternativa del teorema 2.2.5 mediante el uso de las aplicaciones lineales. Los desarrollos que aquí se plantean se basan en textos matemáticos clásicos y en el desarrollo natural, para un matemático, de los distintos conceptos, estudiando primero las propiedades de los objetos y después sus técnicas de cálculo.

Introducimos el uso del ordenador como una herramienta de resolución de problemas numéricos, así como un método para obtener las soluciones de una ecuación en diferencias con coeficientes no necesariamente numéricos. Una vez conocidas las técnicas que planteamos de resolución de las ecuaciones en diferencias, podemos emplear el ordenador, que aplicará dichas técnicas para ahorrarnos el tedioso trabajo manual. El software que empleamos en este libro es MapleV, un conocido programa de cálculo simbólico comercial.