http://hdl.handle.net/10498/6793 Thu, 05 Nov 2026 06:20:43 GMT 2026-11-05T06:20:43Z http://hdl.handle.net/10498/40303 Ordered topologies in modules and polynomial rings Rahbariyan, Sakineh Esta tesis estudia diversos aspectos de estructuras algebraicas dotadas de propiedades adicionales de tipo orden, topológicas y combinatorias, con especial énfasis en grupos y módulos. La primera parte analiza módulos ordenados sobre anillos ordenados y establece condiciones suficientes bajo las cuales la topología del orden es compatible con la estructura de módulo. En particular, se obtienen condiciones que garantizan que dicha topología induce una topología de módulo, y se presentan ejemplos que muestran que estas condiciones son suficientes pero no necesarias. La segunda parte introduce y desarrolla la noción de grupos estructurados, es decir, grupos dotados de relaciones binarias compatibles con la operación del grupo. En el caso de grupos con relaciones de equivalencia compatibles, se estudian las construcciones de cocientes y su relación con los subgrupos normales, extendiendo estos resultados al contexto de grupos topológicos. Para los grupos parcialmente ordenados, se obtienen condiciones suficientes bajo las cuales la topología del orden define una topología de grupo. La última parte investiga propiedades combinatorias de grupos finitos a través de sus grafos de potencias. Se obtienen fórmulas explícitas para la complejidad de los grafos de potencias de p-grupos finitos, entendida como el número de árboles generadores del grafo. Además, se demuestra que el grupo alternado A5 queda determinado de manera única entre todos los grupos finitos por la complejidad de su grafo de potencias. En conjunto, estos resultados contribuyen al estudio de la interacción entre estructuras algebraicas, topológicas, de orden y combinatorias, aportando nuevas perspectivas sobre grupos, módulos y sus invariantes asociados.; This thesis investigates several aspects of algebraic structures endowed with additional order, topological, and combinatorial properties, with a particular focus on groups and modules. The first part studies ordered modules over ordered rings and establishes sufficient conditions under which the order topology is compatible with the module structure. In particular, conditions are obtained guaranteeing that the order topology defines a module topology, and examples are provided showing that these conditions are sufficient but not necessary. The second part introduces and develops the notion of structured groups, namely groups equipped with binary relations compatible with the group operation. For groups endowed with compatible equivalence relations, quotient constructions are analyzed and their connections with normal subgroups are established. These results are extended to topological groups. For partially ordered groups, sufficient conditions are obtained under which the order topology defines a group topology. The final part investigates graph-theoretical properties of finite groups through their power graphs. Explicit formulas are derived for the complexity of the power graphs of finite p-groups, where complexity is defined as the number of spanning trees. Furthermore, it is shown that the alternating group A5 is uniquely determined among all finite groups by the complexity of its power graph. Together, these results contribute to the study of the interaction between algebraic, topological, order-theoretic, and combinatorial structures, providing new insights into groups, modules, and their associated invariants. Thu, 01 Jan 2026 00:00:00 GMT http://hdl.handle.net/10498/40303 2026-01-01T00:00:00Z http://hdl.handle.net/10498/40292 Global and local triviality for extensions of ample groupoids: an algebraic approach Brownlowe, Nathan; Clark, Lisa Orloff; Pardo Espino, Enrique; Sims, Aidan Using the Steinberg duality between the categories of inverse semigroups and ample groupoids, we prove the triviality (global and local) of the central term of the extension in terms of twisted crossed products. Tue, 29 Sep 2026 00:00:00 GMT http://hdl.handle.net/10498/40292 2026-09-29T00:00:00Z http://hdl.handle.net/10498/40275 C∞-estructuras en la integración de distribuciones involutivas de campos vectoriales y su aplicación a ecuaciones diferenciales Castejón Sánchez, Antonio En el presente trabajo se estudian tres técnicas de integración de distribuciones involutivas que generalizan el enfoque clásico presentado por S. Lie para la integración de ecuaciones diferenciales: las estructuras resolubles, las $\lambda$-simetrías para ecuaciones diferenciales y las $C^\infty$-estructuras para distribuciones involutivas. Para comenzar, se introduce el trabajo de S. Lie sobre la integrabilidad por cuadraturas de ecuaciones diferenciales que admiten un álgebra de simetrías resoluble. En el Capítulo 3, se formula una generalización del concepto de álgebra de simetrías resoluble mediante la definición de estructura resoluble. Se establece el método de integración asociado y se aplica a la integración de ecuaciones diferenciales por cuadratura. En el Capítulo 4 se introduce la noción de $\lambda$-simetría. Tras su definición, se desarrolla el método de integración de ecuaciones diferenciales ordinarias asociado. Este método permite una reducción de orden análoga al método clásico; sin embargo, la reconstrucción de soluciones no se realiza, en general, mediante cuadraturas. Posteriormente, se demuestra que el debilitamiento en las condiciones sobre las simetrías de Lie permite la integración de ecuaciones diferenciales ordinarias en situaciones donde el método clásico no es aplicable. A partir de los conceptos de estructuras resolubles y $\lambda$-simetrías, en el Capítulo 5 se introducen las $C^\infty$-estructuras para distribuciones involutivas de campos vectoriales. Esta noción generaliza los conceptos previos desarrollados en el trabajo y permite la integración de distribuciones involutivas. Finalmente, en el Capítulo 6 se calculan soluciones de una ecuación en derivadas parciales a partir de su reducción a una ecuación diferencial ordinaria mediante una transformación de onda viajera, para aplicar posteriormente el método de integración asociado a las $C^\infty$-estructuras. Wed, 01 Jul 2026 00:00:00 GMT http://hdl.handle.net/10498/40275 2026-07-01T00:00:00Z http://hdl.handle.net/10498/40273 Técnicas de geometría diferencial para la integración de distribuciones involutivas Castejón Sánchez, Antonio En el presente trabajo se establecen las bases de la teoría de distribuciones de campos vectoriales definidas sobre variedades diferenciables. El objetivo principal será la determinación de variedades integrales de las distribuciones involutivas a partir del estudio de las simetrías de las mismas. Se comienza con el desarrollo histórico de los conceptos básicos del trabajo, destacando las ideas iniciales de Sophus Lie y su posterior formalización por parte de Élie Cartan. Tras esto, se establecen una serie de resultados preliminares acerca de geometría diferencial, variedades diferenciables y grupos de Lie, necesaria para el desarrollo de los posteriores capítulos, que se engloban en dos bloques, el primero de estos desarrolla las distribuciones de campos y el segundo las simetrías de distribuciones. El primer bloque, formado por los capítulos 3 y 4, introduce la noción de distribución de campos vectoriales como generalización de los campos de vectores. A diferencia de estos últimos, la integrabilidad, esto es, la existencia de variedades integrales maximales, no está en general garantizada. En consecuencia, se introduce la condición de involutividad y se enuncia el Teorema de Frobenius, que afirma que la involutividad es condición suficiente para asegurar la existencia de variedades integrales. Tras estos resultados, se realiza un desarrollo dual de la teoría de distribuciones en términos de formas diferenciales. Los capítulos 5, 6 y 7 forman el segundo bloque, cuyo tema principal son las simetrías de distribuciones de campos. Bajo las condiciones necesarias, se enuncia el Teorema de Lie-Bianchi, que ofrece un algoritmo de integración a partir del conocimiento de un número determinado de simetrías. Tras esto, los resultados son aplicados a la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Por último, se debilitan las condiciones requeridos en la noción de álgebra de simetría y se introduce el concepto de estructura resoluble. Sun, 01 Jun 2025 00:00:00 GMT http://hdl.handle.net/10498/40273 2025-06-01T00:00:00Z