Introducción a las Redes Neuronales Físicamente Informadas

Abstract

La complejidad del cerebro humano ha fascinado a la comunidad científica desde tiempos inmemoriales. En los últimos años, el desarrollo tecnológico y computacional se ha inspirado en su alta potencia de procesamiento y su capacidad de aprendizaje y adaptación: es el nacimiento de la inteligencia artificial, el aprendizaje automático y el aprendizaje profundo; todos ellos de la mano de las redes neuronales artificiales. En la última década, la creciente popularidad de estos modelos ha propiciado su aplicación sobre los complejos problemas del mundo real, descritos por sistemas matemáticos, físicos, biológicos e ingenieriles, dando origen así a redes neuronales capaces de incorporar la información subyacente de la realidad. En particular, el interés en las redes neuronales físicamente informadas (PINN de sus siglas en inglés), empleadas en la resolución de problemas con ecuaciones en derivadas parciales (EDP), ha experimentado un crecimiento exponencial en los últimos años, especialmente desde 2019. En este trabajo se introducen los principales aspectos de la estructura de redes neuronales artificiales, incluyendo sus orígenes, motivación, estructura básica y aplicación; analizando en detalle las nociones y resultados matemáticos que fundamentan dichos modelos, y resaltando las ideas y mecanismos responsables de su eficacia, diversidad y representatividad. Además, se realizará un acercamiento al teorema universal de aproximación, caracterizado por su transcendencia en diversas ramas de las matemáticas y las ciencias computacionales. Finalmente, se dedicará un capítulo a la presentación de las nociones básicas de las redes neuronales físicamente informadas (PINN), destacando aquellas ideas que las encabezan como estructuras de interés en el ámbito científico, así como los principales avances teórico-prácticos alcanzados para estas estructuras en los últimos años. En última instancia, como prueba de su potencial prometedor, se presentan y resuelven dos problemas, basados en ecuaciones en derivadas parciales, empleando este nuevo paradigma.

The complexity of the human brain has fascinated the scientific community since immemorial times. In recent years, technological and computational development has been inspired by its high processing capability and its ability to learn and adapt: this is the birth of artificial intelligence, machine learning and deep learning. Furthermore, in the last decade, the growing popularity of these models has led to their application to complex real-world problems described by mathematical, physical, biological and engineering systems, thusgiving rise to neural networks capable of incorporating the underlying information of reality. In particular, interest in physics-informed neural networks (PINN) used in solving problems with partial differential equations (PDE) has recently experienced exponential growth, specially since 2019. In this work, the main aspects of the structure of artificial neural networks are introduced, including their origin, motivation, basic structure and application. Moreover, the mathematical notions and results that establish the basis of these model will be analyzed in detail, while highlighting the ideas and mechanisms responsible for their effectiveness, diversity and representativeness. In addition, it will be presented and approach to the universal approximation theorem, characterized by its transcendence in various areas of mathematics and computer sciences. Finally, a chapter will be dedicated to the presentation of the basic notions of physics-informed neural networks (PINN), highlighting the ideas that lead them as structures of interest in the scientific field, as well as the main theorical-practical advances achieved for these structures in recent years. Lastly, as a proof of its promising potential, two problems, based on partial differential equations, are presented and solved using this new paradigm.