Introducción a las aplicaciones cuasiconformes en el plano y aplicaciones a EDP.

Abstract

A lo largo de este trabajo se profundizara en el estudio de las aplicaciones cuasiconformes. Además de enunciar la definición analítica de aplicación cuasiconforme se caracterizaran las transformaciones cuasiconformes como homeomorfismos que satisfacen la ecuación de Beltrami, con el coeficiente de Beltrami acotado por un cierto k < 1. Posteriormente se continuara con el estudio de dos ejemplos de este tipo de aplicaciones: las transformaciones lineales y los estiramientos radiales. Se incluirá también un ejemplo de transformación cuasiconforme entre coronas circulares que pondrá de manifiesto como las tranformaciones cuasiconformes generalizan las transformaciones conformes. Para finalizar este trabajo, se mostrara un método para la resolución de ecuaciones en derivadas parciales basado en la teoría desarrollada sobre las aplicaciones cuasiconformes, en concreto se trabajará con las ecuaciones Kadomtsev-Petviashvili sin dispersión (dKP).

In this paper we go into detail about quasiconformal mappings. In addition to give the analytic definition of quasiconformal mapping, we characterize quasiconformal mappings as homeomorphism satisfying Beltrami equation, where the Beltrami coefficient is due to be bounded by a certain k < 1. Later, we study two examples of this kind of maps: linear map and radial stretchings. An example on quasiconformal mappings between annuli will be also include, in order to show how quasiconformal mappings generalize conformal mappings. In the end, we show a method to solve partial differential equation based on quasiconformal map theory. In particular, we work on dispersionless Kadomtsev-Petviashvil (dKP) equation.