On the integrability of GL(2,R)-invariant fourth-order ordinary differential equations

Abstract

El trabajo estudia la integración de ecuaciones diferenciales ordinarias de cuarto orden que poseen un grupo de simetrías de Lie no resoluble, concretamente un álgebra isomorfa a gl(2,R). Este caso es especialmente interesante porque, a diferencia de lo que ocurre con álgebras resolubles, no se garantiza de forma inmediata la integración por cuadraturas mediante el método clásico de Lie. La aportación central consiste en construir, a partir de ciertos generadores de simetría y sus prolongaciones, una estructura resoluble asociada al campo vectorial de la ecuación. Esa estructura permite obtener (localmente) una integral primera por cuadratura. Las hipersuperficies de nivel definidas por dicha integral primera inducen una familia uniparamétrica de ecuaciones de tercer orden que heredan de gl(2,R) un álgebra no resolution isomórfica a sl(2,R). A partir de esta reducción, se demuestra que la solución general (en forma paramétrica) de cualquier ecuación de cuarto orden invariante bajo GL(2,R)puede describirse mediante dos soluciones linealmente independientes de una familia uniparamétrica de ecuaciones lineales de segundo orden (de tipo Schrödinger). Es decir, el problema no lineal de cuarto orden se conecta de manera efectiva con la resolución de ecuaciones lineales de segundo orden, para las que existe una teoría y técnicas bien establecidas. Además, se identifican dos formas canónicas no equivalentes que representan toda la clase de ecuaciones consideradas: resolver estos casos canónicos permite recuperar, mediante cambios locales de variables, las soluciones de cualquier otra ecuación con la misma estructura de simetrías. El trabajo incluye cálculos explícitos de integrales primeras y soluciones en estos casos, junto con algunos subcasos singulares. Finalmente, se presentan ejemplos que muestran la aplicabilidad del método y el tipo de funciones especiales que aparecen en las soluciones, incluyendo funciones de Airy y funciones elípticas de Weierstrass, además de casos con soluciones racionales. En conjunto, el enfoque ofrece una vía sistemática para abordar la integrabilidad de ecuaciones de orden alto con álgebras de simetrías no resolubles, y sugiere extensiones naturales al estudio de álgebras de simetrías de dimensión mayor que contengan sl(2,R).

This work addresses the integration of fourth-order ordinary differential equations whose Lie point symmetries form a non-solvable algebra isomorphic to gl(2,R). By constructing an appropriate solvable structure from selected symmetry generators and their prolongations, a first integral is obtained by quadratures, leading to a one-parameter family of third-order equations with non-solvable algebra isomorphic to sl(2,R) symmetry. The general solution of the original fourth-order equation is then expressed parametrically in terms of two linearly independent solutions of a corresponding one-parameter family of second-order linear (Schrödinger-type) equations. Canonical representatives are discussed and illustrative examples show solutions in terms of special functions such as Airy and Weierstrass elliptic functions.