New optical solitons of Kundu-Eckhaus equation via λ-symmetry

Abstract

El artículo estudia la ecuación de Kundu–Eckhaus (KE) con coeficientes reales generalizados, un modelo no lineal relevante en óptica de fibras para describir la dinámica de ondas dispersivas y la aparición de solitones. El objetivo principal es obtener nuevas soluciones exactas en forma cerrada (closed-form) para la KE y, a la vez, unificar gran parte de las soluciones publicadas previamente mediante distintos métodos. Los autores aplican una transformación de onda viajera que reduce la PDE (KE) a una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de segundo orden para el perfil real g(s). Se muestra que el análisis por simetrías de Lie clásicas resulta poco útil en este caso: la EDO reducida solo admite una simetría puntual trivial (traslación), lo que conduce a una ecuación de Abel cuya solución general no es accesible de forma directa. Para superar esa limitación, se emplea el enfoque de λ-simetrías. Un resultado clave del trabajo es que existe una λ-simetría de una forma concreta si y solo si los coeficientes del modelo cumplen la condición c^2=4ab(c≠0),

condición que, además, aparece en la literatura como requisito asociado a la existencia de ciertos solitones. Bajo esta restricción, la EDO reducida se integra completamente mediante dos cuadraturas sucesivas: primero se reduce el orden con invariantes asociados a la λ-simetría y se obtiene una ecuación integrable; después se reconstruye g(s)resolviendo una ecuación auxiliar tipo Bernoulli. Como consecuencia, el artículo proporciona una clase rica de soluciones exactas para la ecuación KE, organizadas en: una familia uniparamétrica (derivada de soluciones singulares del problema reducido), y una familia biparamétrica (procedente de la solución general de la reducción), que amplía significativamente el catálogo de soluciones conocidas. En la discusión comparativa, los autores muestran que muchas soluciones obtenidas previamente por métodos diversos (expansiones tipo G^'/G, Kudryashov, Riccati–Bernoulli, sinh-Gordon extendido, etc.) se recuperan como casos particulares de su familia uniparamétrica. En cambio, la familia biparamétrica introduce nuevos términos racionales y combinaciones hiperbólicas/trigonométricas (con estructuras polinómicas en el denominador) que, según indican, no habían sido reportadas. Finalmente, se concluye que el enfoque de λ-simetrías no solo explica por qué aparece la restricción c^2=4aben muchos trabajos, sino que permite integrar completamente el problema reducido y generar infinitas soluciones nuevas eligiendo valores de las constantes de integración. Se sugieren extensiones naturales a versiones perturbadas de la KE y a sistemas acoplados (por ejemplo, en fibras birrefringentes).

This paper derives new closed-form exact solutions for the nonlinear Kundu–Eckhaus (KE) equation with generalized real coefficients. By applying a travelling-wave reduction, the KE equation is converted into a second-order ordinary differential equation, which is fully integrated using the λ-symmetry method. A one-parameter set of singular solutions yields a unified representation that includes, as special cases, many previously published exact solutions obtained through a variety of integration techniques. Moreover, the general solution of the reduced ODE leads to a two-parameter family of exact solutions for the KE equation, producing a broad collection of additional solutions not previously reported to the authors’ knowledge.