Generalized symmetries, first integrals, and exact solutions of chains of differential equations

Abstract

El trabajo analiza una familia de cadenas (o secuencias) de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) generadas por iteración de un operador del tipo D_g=D_t+g(u), de modo que la ecuación de orden nde la cadena se escribe como D_g^n (u)=0. El estudio se centra en el caso g(u)=k" " u^m(con k∈R, m∈Z), que incluye como ejemplos fundamentales la cadena de Riccati (m=1) y la cadena de Abel (m=2). La contribución principal es un procedimiento unificado que combina simetrías generalizadas y multiplicadores de Jacobi para obtener integrabilidad efectiva. Primero se construyen nsimetrías generalizadas (en forma evolutiva) para la ecuación de orden nde cada cadena; un hecho clave es que el cociente de las características de dos de estas simetrías proporciona directamente una integral primera de la ecuación. A partir de ello se obtienen n-1 integrales primeras funcionalmente independientes sin realizar ninguna integración. Para obtener un conjunto completo de nintegrales, se usa un multiplicador de Jacobi que puede expresarse de forma en términos de la ecuación precedente de la cadena, M_n=(P_(n-1) )^(-(n+m)). Este recurso permite calcular la última integral primera por una sola cuadratura y, con el conjunto completo de integrales, se reconstruye la solución general exacta de la ecuación de orden n(formulable de manera unificada en términos de polinomios arbitrarios de grado n-1). Los resultados se aplican explícitamente a las cadenas de Riccati y Abel, obteniendo de forma directa sus soluciones generales. Además, en la cadena de Riccati se encuentra una simetría generalizada adicional que permite construir un conjunto completo de integrales primeras sin recurrir a la cuadratura (es decir, utilizando únicamente simetrías). Finalmente, se señala que el enfoque se extiende también a valores reales de m, ampliando el rango de clases de EDOs que pueden resolverse sistemáticamente con este método.

New integrability properties of a family of sequences of ordinary differential equations, which contains the Riccati and Abel chains as the most simple sequences, are studied. The determination of n generalized symmetries of the nth-order equation in each chain provides, without any kind of integration, n-1 functionally independent first integrals of the equation. A remaining first integral arises by a quadrature by using a Jacobi last multiplier that is expressed in terms of the preceding equation in the corresponding sequence. The complete set of n first integrals is used to obtain the exact general solution of the nth-order equation of each sequence. The results are applied to derive directly the exact general solution of any equation in the Riccati and Abel chains.