C∞-Structures for Liénard Equations and New Exact Solutions to a Class of Klein–Gordon Equations

Abstract

El artículo propone un método sistemático para integrar ecuaciones de Liénard (una familia muy relevante de EDOs no lineales de segundo orden) utilizando la reciente teoría de las C^∞-estructuras. Para cada ecuación, se construye una C^∞-estructura combinando una simetría clásica de Lie con una C^∞-simetría (también conocida como λ-simetría), lo que permite obtener dos integrales primeras funcionalmente independientes resolviendo de forma sucesiva dos ecuaciones pfaffianas completamente integrables. Una ventaja práctica del enfoque es que el primer problema pfaffiano se resuelve por cuadratura, y para una clase amplia de ecuaciones de Liénard que admiten una C^∞-simetría específica se obtiene explícitamente la primitiva correspondiente. La integración se completa resolviendo una familia uniparamétrica de ecuaciones de primer orden; además, para ciertas subclases se obtiene una familia adicional de soluciones uniparamétricas también por cuadratura. El trabajo también establece la relación del procedimiento con las ecuaciones de Abel que aparecen al reducir ecuaciones de Liénard mediante simetrías clásicas: en lugar de tratar directamente la ecuación de Abel, se plantea una reconstrucción alternativa a través de ecuaciones auxiliares de primer orden que, en muchos casos, son fácilmente integrables (por ejemplo, de tipo Bernoulli). Como aplicación, el método se utiliza para obtener nuevas soluciones exactas de una ecuación no lineal de Klein–Gordon con coeficientes variables, construyendo familias de soluciones uniparamétricas y biparamétricas a partir de reducciones que conducen a ecuaciones ordinarias pertenecientes a la clase de Liénard estudiada.

Liénard equations are studied within the recent framework of C^∞-structures. For each equation, a C^∞-structure is constructed by combining a Lie point symmetry with a C^∞-symmetry. This leads to a new integration scheme based on the successive solution of two completely integrable Pfaffian equations: the first one is solvable by quadrature, and for a class of Liénard equations admitting a specific C^∞-symmetry its primitive can be obtained explicitly. The procedure is then completed by solving a one-parameter family of first-order equations. For certain subclasses, an additional one-parameter family of solutions is also derived by quadrature. Finally, the method is applied to obtain new exact solutions of a nonlinear variable-coefficient Klein–Gordon equation.