Caracterización de la resolubilidad de ecuaciones bipolares

Abstract

El presente trabajo de fin de máster se enmarca en la teoría de ecuaciones bipolares. Estas ecuaciones se definen a partir de un operador de composición, generalmente dado por un par adjunto, y un operador de negación. La resolubilidad de las mismas ha sido exhaustivamente estudiada en la última década, constituyendo una disciplina de gran relevancia académica. En esta memoria, se aborda una línea de investigación abierta centrada en la resolución de ecuaciones bipolares en el intervalo unidad.

En el Capítulo 1, se introduce y se motiva el campo de investigación que se abordará en el trabajo. En el Capítulo 2, se exponen algunas nociones previas y resultados que serán de especial relevancia en el desarrollo de la memoria. En el Capítulo 3, se presentan los conceptos de ecuación bipolar de relaciones difusas y ecuación bipolar. Además, se establecen propiedades elementales sobre ecuaciones bipolares definidas en el intervalo unidad. En el Capítulo 4, se aborda la resolubilidad de ecuaciones bipolares únicamente imponiendo condiciones sobre el operador de negación, esto es, desde un punto de vista independiente del par adjunto. En concreto, mediante distintos enfoques, se caracteriza la resolubilidad de las familias de ecuaciones bipolares definidas con negaciones biyectivas y de aquellas definidas con una negación continua o, equivalentemente, sobreyectiva. En el Capítulo 5, se estudia la resolubilidad de ecuaciones bipolares a partir del par adjunto bajo consideración, evitando imponer condiciones en la negación. En particular, se aborda la resolubilidad de ecuaciones bipolares definidas con un par adjunto con función parcial derecha continua e inyectiva. En el Capítulo 6, se introducen las ecuaciones bipolares por la izquierda y se trasladan todos los resultados obtenidos previamente para ecuaciones bipolares a estas nuevas ecuaciones. Las contribuciones realizadas en los Capítulos 4,5y 6 son originales, han sido desarrolladas en la investigación llevada a cabo en este trabajo de fin de máster, y han sido publicadas en el siguiente artículo de investigación: D. Lobo, P. López-Molina. Characterizing the solvability of bipolar equations in the unit interval. Contemporary Mathematics, 2026. Además, dichas contribuciones se han presentado como comunicación oral en el congreso internacional: 17th European Symposium on Computational Intelligence and Mathematics (ESCIM~2026), celebrado en Timișoara, Rumanía. El Capítulo 7 se dedica a concluir la memoria y presentar diversas líneas de investigación futura. En el Apéndice, se presenta una implementación en Python que integra los resultados obtenidos en la memoria, constituyendo una herramienta automatizada para la resolución computacional de ecuaciones bipolares.

This work is framed within the theory of bipolar equations. These equations are defined in terms of a composition operator, generally given by an adjoint pair, and a negation operator. Their solvability has been extensively studied over the past decade, constituting a discipline of important academic relevance. This manuscript addresses an open research line that is focused on the solvability of bipolar equations defined on the unit interval.

In Chapter 1, the research field covered in this work is introduced and motivated. In Chapter 2, some preliminary notions and results that will be of particular relevance to the development of this manuscript are presented. In Chapter 3, the concepts of bipolar fuzzy relation equations and bipolar equations are introduced. Furthermore, elementary properties are established for bipolar equations defined on the unit interval.

In Chapter 4, the solvability of bipolar equations is addressed by imposing conditions exclusively on the negation operator, that is, from a perspective independent of the adjoint pair. Specifically, using different approaches, the solvability of families of bipolar equations defined with bijective negations and of those defined with a continuous or, equivalently, surjective negation, is characterized.

In Chapter 5, the solvability of bipolar equations is studied in terms of the adjoint pair under consideration, without imposing conditions on the negation operator. In particular, the solvability of bipolar equations defined with an adjoint pair with a continuous and injective right partial function is addressed.

In Chapter 6, left bipolar equations are introduced, and all results previously obtained for bipolar equations are extended to these new equations.

The contributions made in Chapters 4,5 and 6 are original, were developed through the research conducted in this work, and have been published in the following article:

D. Lobo, P. López-Molina. Characterizing the solvability of bipolar equations in the unit interval. Contemporary Mathematics, 2026.

Moreover, these contributions have been presented as an oral communication at the international conference: 17th European Symposium on Computational Intelligence and Mathematics (ESCIM~2026), held in Timișoara, Romania.

Chapter 7 is devoted to concluding the manuscript and presenting some open fields for future research. In Appendix, a Python implementation is presented that integrates the results obtained in this work, providing an automated tool for the computational resolution of bipolar equations.