Teorema de Banach-Stone: Un puente entre Análisis, Álgebra y Topología

Abstract

In 1932, Banach published the first study on isometries between real-valued function spaces defined over a compact metric space K. He studied the isometries between C(K) spaces, in relation to the homeomorphisms between the base spaces. Years later, Stone improved his theorem by proving it on spaces that were not necessarily metric, this is what today is known as the classical Banach-Stone theorem. Over the years, many lines of research have developed in relation to this theorem, weakening or changing hypothesis, studying isomorphisms on the ring structure of C(K) spaces, modifying the norm, considering spaces of vector-valued functions C(K,X), etc. We will focus our study on Banach and Stone's original theorems as well as on some of the advances made by other authors.

En 1932, Banach publicó el primer estudio sobre las isometrías entre espacios de funciones reales continuas definidas sobre un espacio métrico compacto K; en él se estudiaban las isometrías entre espacios de tipo C(K) y los homeomorfismos entre los espacios base. Años después, Stone amplió el teorema a espacios K no necesariamente métricos, esto es lo que se conoce como teorema de Banach-Stone clásico. A raíz de este teorema se han desarrollado distintas ramas de investigación relacionadas con este tema debilitando o cambiando hipótesis, estudiando isomorfismos sobre la estructura de anillo de C(K), modificando la norma, considerando el caso vectorial C(K,X), etc. En este trabajo realizaremos un estudio del teorema original de ambos y a su vez, veremos algunas ampliaciones realizadas por otros autores.