Métodos numéricos básicos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Abstract

Las funciones lineales y sus sistemas constituyeron el punto inicial de estudio del Algebra Lineal. Hoy día el tratamiento de estas cuestiones involucra un gran número de conceptos y conocimientos de esta rama de las Matemáticas, que tuvieron su origen en otros tipos de problemas. De esta forma al analizar y resolver sistemas de ecuaciones lineales hay que poner en juego una amplia gama de conceptos y técnicas del Álgebra Lineal. Por otra parte, parece incuestionable que al aplicar las matemáticas a problemas de la técnica, dado el volumen de variables y de relaciones que entre ellas que suelen aparecer, se requiere un tratamiento discreto. Muy particularmente, los sistemas de ecuaciones lineales que se presentan en la práctica suelen ser de grandes dimensiones, por ello es necesario conocer no solo el tratamiento típicamente algebraico del problema, sino también los distintos métodos numéricos con los que podrá abordarse, así como discernir la idoneidad de cada uno de ellos, en función de las características del problema planteado. La cuestión de encontrar métodos sencillos y efectivos para resolver tales sistemas, cuando tienen un gran número de ecuaciones e incógnitas, sigue siendo objeto de interés, pues las soluciones numéricas de tales ecuaciones son de especial importancia en problemas técnicos cuya modelización es lineal. Presentamos una panorámica general de los métodos básicos, tratando su fundamentación matemática y los problemas de índole práctico que pueden aparecer, así como criterios sobre los que efectuar una valoración de la oportunidad de hacer una elección determinada, dependiendo de la situación problemática planteada. Se incluye un apéndice con las “rutinas usuales” en código C. Los conocimientos necesarios para abordar la lectura de este libro son los correspondientes a un curso de Álgebra Lineal. No obstante, deseando que el trabajo sea lo más autocontenido posible, se ha introducido un capítulo sobre el estudio general de los sistemas de ecuaciones lineales. Con el mismo criterio, se ha justificado con notas a pie de página aquellos resultados del Álgebra Lineal que pudieran estar más en el olvido, este es el caso de algunas propiedades relativas a los autovalores.