On the integrability of Liénard I-type equations via λ-symmetries and solvable structures

Abstract

Para ecuaciones de Liénard de tipo I se demuestra la existencia de una familia de lambda-simetrías tal que cualquiera de ellas permite el cálculo por cuadraturas de una primera integral de la ecuación dependiente del tiempo. Esto se consigue utilizando una estructura resoluble construida a partir de la lambda-simetría y una simetría de Lie. La integral primera obtenida por cuadraturas y la integral primera asociada a la simetría de Lie son siempre funcionalmente independientes, por lo que pueden utilizarse para integrar completamente la ecuación de Liénard de tipo I. El método se ilustra con ejemplos de amplias clases de ecuaciones de Liénard de tipo I. Estas clases incluyen, entre otras, las ecuaciones del oscilador de Duffing-Van der Pol generalizadas y libres de fuerza. Se proporcionan explícitamente soluciones analíticas para ecuaciones de tipo oscilatorio y no oscilatorio.