New exact solutions for a generalised Burgers-Fisher equation

Abstract

El artículo presenta nuevas soluciones exactas de onda viajera para la ecuación generalizada de Burgers–Fisher (GBF). El planteamiento parte de la reducción por onda viajera u(x,t)=u(ξ), ξ=k(x−ωt), que transforma la PDE en una EDO no lineal de segundo orden. En lugar de emplear ansätze “ad hoc” (tanh, Exp-function, etc.), los autores proponen un procedimiento sistemático basado en la existencia de λ-simetrías para una clase de ecuaciones que pueden linealizarse mediante una transformación de Sundman generalizada.

Como resultados principales: (i) obtienen una familia uniparamétrica de soluciones exactas en forma unificada, mostrando que gran parte de las soluciones publicadas con métodos no relacionados (tanh, tanh–coth modificado, Exp-function, primer integral, G'/G)-expansión mejorada) se recuperan como casos particulares para valores específicos del parámetro. (ii) Bajo una condición sobre los coeficientes de la GBF, demuestran que pueden describirse todas las ondas viajeras mediante una expresión biparamétrica (implícita) en términos de la función trascendente de Lerch, y además obtienen una familia uniparamétrica de tipo exponencial asociada a un caso singular.

Finalmente, el caso n=1 se resuelve por completo: se clasifica el conjunto de soluciones en familias de uno y dos parámetros, incluyendo nuevas familias expresables con funciones de Bessel y Bessel modificadas (y, en subclases, con funciones elementales). Los autores ilustran perfiles representativos con gráficas 3D y concluyen que las nuevas expresiones “unificadas” amplían de forma notable el repertorio de soluciones exactas conocidas para la GBF.

New travelling-wave solutions for a generalised Burgers–Fisher (GBF) equation are derived from nonlinear second-order ordinary differential equations that can be linearised via a generalised Sundman transformation. The reconstruction step leads to a one-parameter family of first-order Chini-type equations. A unified closed-form representation is obtained for a one-parameter family of exact solutions, encompassing as special cases several results previously reported using methods such as the tanh method, the modified tanh–coth method, the Exp-function method, the first-integral method, and the improved (G′/G)-expansion method. Under a specific condition on the GBF coefficients, all travelling-wave solutions are captured by a single two-parameter expression in terms of the Lerch transcendent function. The case n=1 is fully classified into a one-parameter family of exponential solutions and a two-parameter family involving Bessel and modified Bessel functions. For particular subclasses of the GBF equation, additional new one- and two-parameter families expressed through exponential, trigonometric, and hyperbolic functions are also reported.