Métodos paralelos en tiempo para ecuaciones en derivadas parciales

Abstract

Este trabajo se enfoca al estudio de métodos numéricos paralelos en tiempo. En concreto, nos centraremos en el algoritmo Parareal, propuesto para ecuaciones diferenciales ordinarias y que extenderemos a ecuaciones en derivadas parciales. Tras exponer los fundamentos previos necesarios (los métodos de resolución temporal para ecuaciones diferenciales) y estudiar el Método de los Elementos Finitos para la resolución espacial de ecuaciones en derivadas parciales, se introducen los métodos de disparo, como idea base del contenido posterior, los métodos de disparo múltiple. Finalmente, se presenta el algoritmo Parareal, y se aplica a la resolución de la ecuación del calor. Para concluir el estudio, se introducen dos modelos epidemiológicos, el modelo SIR clásico y un novedoso esquema con difusión, para ser resueltos con Parareal y comprobar la teoría expuesta.

This essay is devoted to the study of time parallel numerical methods. Specifically, we focus on the Parareal algorithm, proposed for ordinary differential equations and which is here extended to partial differential equations. After explaining some previous concepts (time numerical methods for differential equations) and studying the Finite Elements Method for partial differential equations, the shooting methods are introduced, as the key idea for the multiple shooting method. Finally, the Parareal algorithm is presented, and applied to solve the heat equation. To conclude this study, two epidemiological methods are introduced, the classic SIR model and an innovative scheme with diffusive terms, in order to be solved with Parareal so that the expounded theory can be verified.