Órbitas de operadores que conmutan salvo un factor escalar con un operador desplazamiento hacia atrás

Abstract

En este trabajo se pretende dar una introducción a la dinámica lineal y a la propiedad de hiperciclicidad, especialmente en lo referido al operador desplazamiento hacia atrás B en el clásico espacio de Hardy H2. Con tal fin, se enuncian los resultados de topología y análisis funcional necesarios y se describen las propiedades básicas de los operadores de Toeplitz analíticos. Posteriormente, se demuestran resultados cruciales como el criterio de los autovalores de Godefroy y Shapiro o el criterio de hiperciclicidad, gracias a los cuales caracterizamos los elementos hipercíclicos del conmutante de B. Para generalizar este resultado, incluimos temas propios del análisis complejo como las familias normales y los productos infinitos. Por último, se incluye la noción de lambda-conmutante, el cual caracterizamos para B, y proporcionamos condiciones suficientes o necesarias para la hiperciclicidad de sus elementos.

In this project we give an introduction to linear dynamics and hypercyclicity, especially regarding the backward shift operator B in the classic Hardy space H2. To this end, we state the required topology and functional analysis results and we describe the basic properties concerning analytical Toeplitz operators. Afterwards, we prove crucial results such as Godefroy and Shapiro's eigenvalues criterion and the hypercyclicity criterion, thanks to which we characterize the hypercyclic elements of the commutant of B. In order to generalize this result, we include several complex analysis topics, like normal families and infinite products. Lastly, we define the lambda-commutant of an operator, we characterize it for B and we give sufficient or necessary conditions for the hypercyclicity of its elements.