Realización, análisis y diseño de un sistema de control para un péndulo invertido experimental

Abstract

En el presente proyecto se va a realizar el an´alisis y estudio del modelo matem´atico de un p´endulo invertido con un motor de corriente continua como actuador. Posteriormente, se dise˜nar´a un sistema de control mediante un m´etodo anal´ıtico para la planta en cuesti´on. Finalmente, se dimensionar´a y construir´a la planta y se implementar´a un control experimental que consiga estabilizar al sistema en lazo cerrado y tenga unas prestaciones satisfactorias desde el punto de vista de la respuesta temporal. Los resultados ser´an comparados con los obtenidos en la simulaci´on con el control anal´ıtico. Tras un an´alisis del diagrama de cuerpo libre del sistema p´endulo invertido se obtendr´an las ecuaciones que definen la din´amica del conjunto. Estas ecuaciones ser´an linealizadas para el punto de operaci´on en el cual se desea estabilizar la planta. Por simplicidad, el an´alisis del actuador se realizar´a por separado. Ambos sistemas estar´an relacionados por el torque, o el par aplicado por el motor, y el radio de la rueda dentada que acople el motor con la correa del carro del p´endulo invertido simple. Para poder realizar las simulaciones del modelo obtenido y analizar los resultados, ser´a necesario obtener los par´ametros caracter´ısticos de la planta. Para ello, se va a dise˜nar la planta en un software de dise˜no 3D y posteriormente se imprimir´an las piezas estructurales mediante tecnolog´ıa FDM1 . Una vez se tenga la planta construida se podr´a caracterizar y obtener los par´ametros para realizar las simulaciones y su posterior control. Para estabilizar la planta en simulaci´on se dise˜nar´a un sistema de control mediante una t´ecnica anal´ıtica. Esta t´ecnica consistir´a en realizar el control a partir de la realimentaci´on del vector de estados, en concreto un control tipo LQR2 . En el dise˜no de dicho controlador se supondr´a que se tiene un modelo de la planta preciso y que todas las variables de estados son medibles por los correspondientes sensores. Aunque se haya realizado un an´alisis del sistema y se hayan obtenido las ecuaciones de la din´amica del sistema con los par´ametros de la planta real, esto solo es una aproximaci´on para el dise˜no de un controlador y que dar´a buenos resultados en simulaci´on. La planta tendr´a incertidumbres no modeladas y perturbaciones no consideradas en el dise˜no, las cuales podr´an llevar al sistema a un comportamiento no deseado o incluso a la inestabilidad. Teniendo en cuenta las perturbaciones e incertidumbres de modelado del sistema, es posible que el control LQR no sea v´alido en la planta real. Es por ello que el dise˜no del sistema de control de la planta real se realizar´a de forma emp´ırica o experimentalmente con un proceso iterativo variando las constantes de un control tipo PID aplicando los conocimientos adquiridos para un ajuste manual. El objetivo final del trabajo ser´a obtener una planta p´endulo invertido apoyado sobre un carro que se desplaza sobre unos rieles y actuado por un motor de corriente continua. El algoritmo de control ser´a desarrollado en el software de procesamiento matem´atico Matlab/Simulink. Dicho algoritmo de control ser´a implementado posteriormente en una Raspberry Pi 4B [15]. Este dispositivo cuenta con una serie de entradas y salidas digitales que junto a su procesador ARM Cortex-A72 hacen posible procesar las medidas de los sensores, ejecutar de forma aut´onoma el algoritmo de control en tiempo real y generar la se˜nal de control necesaria para estabilizar el sistema.

This project will analyse and study the mathematical model of an inverted pendulum with a DC motor as an actuator. Subsequently, a control system will be designed using an analytical method for the plant in question. Finally, the plant will be dimensioned and constructed and an experimental control system will be implemented to stabilise the system in a closed loop and to achieve satisfactory performance from the point of view of the time response. The results will be compared with those obtained in the simulation with the analytical control. After an analysis of the free body diagram of the inverted pendulum system, the equations defining the dynamics of the assembly will be obtained. These equations will be linearised for the operating point at which the plant is to be stabilised. For simplicity, the actuator analysis will be carried out separately. Both systems will be related by the torque, or the torque applied by the motor, and the radius of the sprocket that couples the motor to the belt of the simple inverted pendulum trolley. In order to carry out the simulations of the model obtained and analyse the results, it will be necessary to obtain the characteristic parameters of the plant. To do this, the plant will be designed in 3D design software and then the structural parts will be printed using FDM3 technology. Once the plant has been built, it will be possible to characterise it and obtain the parameters to carry out the simulations and subsequent control. To stabilise the plant in simulation, a control system will be designed using an analytical technique. This technique will consist of carrying out the control from the feedback of the state vector, specifically an LQR4 type control. In the design of such a controller, it will be assumed that there is an accurate model of the plant and that all the state variables are measurable by the corresponding sensors. Although an analysis of the system has been carried out and the equations of the system dynamics have been obtained with the parameters of the real plant, this is only an approximation for the design of a controller and will give good results in simulation. The plant will have unmodelled uncertainties and disturbances not considered in the design, which may lead the system to undesired behaviour or even instability. Considering the system modelling disturbances and uncertainties, the LQR control may not be valid in the real plant. That is why the design of the control system of the real plant will be carried out empirically or experimentally with an iterative process by varying the constants of a PID type control applying the knowledge acquired for a manual tuning. The final objective of the work will be to obtain an inverted pendulum plant supported on a trolley moving on rails and driven by a DC motor. The control algorithm will be developed in the mathematical processing software Matlab/Simulink. This control algorithm will then be implemented on a Raspberry Pi 4B [15]. This device has a series of digital inputs and outputs which, together with its processor ARM CortexA72, make it possible to process the sensor measurements, autonomously execute the control algorithm in real time and generate the control signal necessary to stabilise the system.